Question

已知函數f（x）=

1-2x

2x+1

請用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．

Answer 1

分析：設x₁＜x₂，由函數f（x）=

1-2x

2x+1

，化簡 f（x₁）-f（x₂）的解析式為

2•(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，可得
f（x₁）＞f（x₂），從而得到f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．

解答：解：設x₁＜x₂，由函數f（x）=

1-2x

2x+1

可得 f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

2x1+1

-

1-2x2

2x2+1

=

(1-2x1)(2x2+1)-(1-2x2)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2•(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

．
由題設可得2x2-2x1＞0，2x1＞0，2x2＞0，∴

2•(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
 即f（x₁）-f（x₂），故有f（x₁）＞f（x₂），故 f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，屬于基礎題．