Question

橢圓的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于點A、B，當△FAB的周長最大時，△FAB的面積是   .

Answer 1

3a²

試題分析：設橢圓的右焦點為E．如圖：

由橢圓的定義得：△FAB的周長：AB+AF+BF=AB+（4a-AE）+（4a-BE）=8a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，當AB過點E時取等號；
∴AB+AF+BF=8a+AB-AE-BE≤8a；
即直線x=m過橢圓的右焦點E時△FAB的周長最大；
此時△FAB的高為：EF=2a．
此時直線x=m=c=1；
把x=1代入橢圓的方程得：y=±．
∴AB=3a．所以：△FAB的面積等于：S_△FAB=
×3a×EF=×3a×2a=3a²故答案為3a²
點評：中檔題，在解決涉及到圓錐曲線上的“焦點三角形”問題時，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．解決本題的關鍵在于利用定義求出周長的表達式．