Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．
（1）證明：當點E在棱AB上移動時，D₁E⊥A₁D；
（2）在棱AB上是否存在點E，使二面角D₁-EC-D的平面角為？若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)E（1，y，0）（0≤y≤2）分別求出，然后計算數(shù)量積為0可判定D₁E⊥A₁D；
（2）先根據(jù)線面垂直求出平面D₁EC的法向量為，而平面ECD的一個法向量為=（0，0，1），要使二面角D₁-EC-D的平面角為，則，可解得y，求出所求．
解答：解：以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），C（0，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1）．（1分）
設(shè)E（1，y，0）（0≤y≤2）．（2分）
（1）證明：
∵，．
則，
∴，即D₁E⊥A₁D． （4分）
（2）解：當時，二面角D₁-EC-D的平面角為．（5分）
∵，，（6分）
設(shè)平面D₁EC的法向量為=（x，y，z），
則（8分）
取y=1，則n₁=（2-y，1，2）是平面D₁EC的一個法向量．（9分）
而平面ECD的一個法向量為=（0，0，1），（10分）
要使二面角D₁-EC-D的平面角為，
則，（12分）
解得（0≤y≤2）．
∴當時，二面角D₁-EC-D的平面角為．（14分）
點評：本題主要考查了兩直線垂直的判定，以及利用空間向量的方法求解二面角的平面角，同時考查了計算能力，屬于中檔題．