Question

f(x)=x3-

1

2

x2-2x+5，若對任意x∈[0，2]都有f（x）＜m成立，則m的取值范圍為（　　）

A．（7，+∞）

B．（8，+∞）

C．[7，+∞）

D．（9，+∞）

Answer 1

分析：將恒成立問題轉化成求f（x）的最值問題，求出導函數f′（x）=0的根，求出導函數根所對應的函數值，以及f（0）和f（2），比較大小即可得到函數f（x）的最值，即可求得m的取值范圍．

解答：解：對任意x∈[0，2]都有f（x）＜m成立，即f（x）_max＜m對x∈[0，2]恒成立，
∵f(x)=x3-

1

2

x2-2x+5，
∴f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）=0，解得x=-

2

3

（舍），x=1，
∵f（0）=5，f（1）=

7

2

，f（2）=7，
∴f（x）_max=f（2）=7，
∴m的取值范圍為m＞7，
故選A．

點評：本題考查了利用導數求函數的最值，函數的恒成立問題，對于函數的恒成立問題，解決的方法一般是參變量分離、求最值、數形結合．本題采用了求函數的最值．屬于中檔題．