Question

已知當x∈[0，1]時，不等式x²cosθ-x（1-x）+（1-x²）sinθ＞0恒成立，試求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：可設不等式左邊為f（x）并化簡，求出f（x）的最小值，令其大于0，得到θ的取值范圍即可．

解答：解：設f（x）=x²•cosθ-x•（1-x）+（1-x）²•sinθ=（1+sinθ+cosθ）x²-（2sinθ+1）x+sinθ
①若1+cosθ+sinθ=0，
即 θ=π或

3

2

π時，原不等式不恒成立．
②若 1+cosθ+sinθ≠0，即θ≠π或

3

2

π時，
∵f（x）在[0，1]的最小值為f（0）或f（1）或 f[

2sinθ+1

2(1+cosθ+sinθ)

]
∴

f(0)＞0 f(1)＞0 f[ 2sinθ+1 2(1+cosθ+sinθ) ]＞0

由第1個不等式得sinθ＞0，由第2個不等式得cosθ＞0，由第3個不等式得 sinθ＞

1

2

∴2kπ+

π

6

＜θ＜2kπ+

π

2

(k∈Z)

點評：考查學生理解函數恒成立時取條件的能力，解答的關鍵是靈活運用三角函數的能力．