Question

定義在[-1，1]上的偶函數(shù)f（x），已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)的解析式為f（x）=-2^2x+a2^x （a∈R）．
（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值h（a）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，由已知表達(dá)式可求得f（-x），根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）=f（-x），從而得到答案；
（2）令t=2^x，則t∈[1，2]，則原函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)，按照對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系分三種情況討論即可求得最大值h（a）．

解答：解：（1）設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，f（-x）=-2^-2x+a•2^-x，
又f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）=-2^-2x+a•2^-x，
故f（x）=-2^-2x+a•2^-x，x∈[-1，0]．
（2）f（x）=-2^2x+a•2^x，x∈[0，1]．令t=2^x，則t∈[1，2]，
所以g（t）=at-t²=-(t-

a

2

)2+

a2

4

，
①當(dāng)

a

2

＜1，即a＜2時(shí)，h（a）=g（1）=a-1；
②當(dāng)1≤

a

2

≤2，即2≤a≤4時(shí)，h（a）=g（

a

2

）=

a2

4

；
③當(dāng)

a

2

＞2，即a＞4時(shí)，h（a）=g（2）=2a-4．
綜上所述，h（a）=

a-1，a＜2 a2 4 ，2≤a≤4 2a-4，a＞4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，屬中檔題．