Question

若x、y∈R⁺，且x≠y，則“

x y

，

2 x y

x+y

，

x+y

2

”的大小關系是…（　　）

• A．

  x y

  ＜

  2 x y

  x+y

  ＜

  x+y

  2

• B．

  2 x y

  x+y

  ＜

  x y

  ＜

  x+y

  2

• C．

  x y

  ＜

  x+y

  2

  ＜

  2 x y

  x+y

• D．

  x+y

  2

  ＜

  2 x y

  x+y

  ＜

  x y

Answer 1

分析：法一：如果能記住“對任意實數x、y∈R⁺，

2 x y

x+y

≤

x y

≤

x+y

2

≤  

x2+y2 2

成立”，就可以直接選出答案；
法二：可以取特殊值法驗證即可；法三：利用綜合法或分析法證明，但作為選擇題有點小題大做了．

解答：解：由題意知
  利用分析法證明如下：
  證明：①要證不等式x、y∈R⁺，

2 x y

x+y

≤

x y

成立，
          只需證(

2 x y

x+y

)2≤ (

x y

)2成立即可
         化簡得：（x+y）²≥4xy
             即：（x-y）²≥0恒成立
          又∵x≠y
∴

2 x y

x+y

＜

x y

成立
       ②要證不等式x、y∈R⁺，

x y

≤

x+y

2

成立，兩邊平方  
         得：（x+y）²≥4xy
          即不等式（x-y）²≥0恒成立       
          又∵x≠y
∴

xy

＜

x+y

2

成立
    綜上所述：由①②知不等式

2 x y

x+y

＜

x y

＜

x+y

2

成立．
   故選B

點評：本題主要考查均值不等式的證明與大小的判斷，并不難，屬于基礎題型．