Question

若x、y∈R⁺，且x≠y，則“

x y

，

2 x y

x+y

，

x+y

2

”的大小關系是…（　　）

A．  x y  ＜ 2 x y  x+y  ＜  x+y  2

B． 2 x y  x+y  ＜  x y  ＜  x+y  2

C．  x y  ＜  x+y  2 ＜ 2 x y  x+y

D．  x+y  2 ＜ 2 x y  x+y  ＜  x y

Answer 1

由題意知
  利用分析法證明如下：
  證明：①要證不等式x、y∈R⁺，

2 x y

x+y

≤

x y

成立，
          只需證(

2 x y

x+y

)2≤ (

x y

)2成立即可
         化簡得：（x+y）²≥4xy
             即：（x-y）²≥0恒成立
          又∵x≠y
∴

2 x y

x+y

＜

x y

成立
       ②要證不等式x、y∈R⁺，

x y

≤

x+y

2

成立，兩邊平方  
         得：（x+y）²≥4xy
          即不等式（x-y）²≥0恒成立       
          又∵x≠y
∴

xy

＜

x+y

2

成立
    綜上所述：由①②知不等式

2 x y

x+y

＜

x y

＜

x+y

2

成立．
   故選B