Question

（12分）已知函數，曲線過點P（－1，2），且在點P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直。
①求a，b的值；
②求該函數的單調區間和極值。
③若函數在上是增函數，求m的取值范圍.

Answer 1

解：①  a=1，b=3②函數的遞增區間是（-∞，-2）和（0，+∞），遞減區間是（-2,0），
極大值是f（-2）=4，極小值是f（0）=0.③ m≤-3，或m≥0.

試題分析：（1）將M的坐標代入f（x）的解析式，得到關于a，b的一個等式；求出導函數，求出f′（1）即切線的斜率，利用垂直的兩直線的斜率之積為-1，列出關于a，b的另一個等式，解方程組，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函數的單調遞增區間
（3）在上一問的基礎上，據題意知[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝），列出端點的大小，求出m的范圍．
解：① 因為，所以，
   根據題意得   -a+b=2    ，得 a=1，b=3
3a-2b=-3
② ，
當＞0時，解得  x＜-2，或x＞0；
當＜0時，解得   -2＜x＜0.
因此，該函數的遞增區間是（-∞，-2）和（0，+∞），遞減區間是（-2,0），
極大值是f（-2）=4，極小值是f（0）=0.
③ 根據題意m+1≤-2，或m≥0，解得m≤-3，或m≥0.
點評：解決該試題注意函數在切點處的導數值是曲線的切線斜率；直線垂直的充要條件是斜率之積為-1。