Question

如圖直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A（8，0）、B（0，6）兩點(diǎn)，P為直線l上異于A、B兩點(diǎn)之間的一動點(diǎn)．且PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q．
（1）若△PBQ和四邊形OQPA的面積滿足S_四OQPA=3S_△PBQ時，請你確定P點(diǎn)在AB上的位置，并求出線段PQ的長；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MPQ為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)M與P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由△PBQ和四邊形OQPA的面積滿足S_四OQPA=3S_△PBQ，可得S_△BOA=4S_△PBQ，進(jìn)而根據(jù)S_△BOA∽S_△PBQ，可得到兩個三角形的相似比，進(jìn)而得到線段PQ的長；
（2）若△MPQ為等腰直角三角形，則O，P，M三點(diǎn)均有可能為直角頂點(diǎn)，分析討論后，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（1）∵S_四OQPA=3S_△PBQ，
∴S_△BOA=4S_△PBQ，
又∵PQ∥OA
∴S_△BOA∽S_△PBQ，
根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，
可得S_△BOA與S_△PBQ的相似比為1：2
故

PQ

OA

=

1

2

即PQ=

1

2

OA=4
（2）由（1）可知直線l的方程為3x+4y=24…（*）

①若△MPQ為等腰直角三角形，Q為直角頂點(diǎn)
則此時M點(diǎn)與原點(diǎn)重合，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a），則P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a）
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入*得a=

24

7

即M，P的坐標(biāo)分別為（0，0）（

24

7

，

24

7

）
②若△MPQ為等腰直角三角形，P為直角頂點(diǎn)
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a），則P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a），M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0）
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入*得a=

24

7

即M，P的坐標(biāo)分別為（

24

7

，0）（

24

7

，

24

7

）
③若△MPQ為等腰直角三角形，M為直角頂點(diǎn)
則|OM|=|OQ|=

1

2

|PQ|
設(shè)Q（0，a），則M（a，0），點(diǎn)P坐標(biāo)為（2a，a）
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入（*）式 得a=

12

5

．
∴點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為（

12

5

，0），（

24

5

，

12

5

）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)，直線方程與直線的交點(diǎn)，其中（2）中要注意O，P，M三點(diǎn)均有可能為直角頂點(diǎn)，要分類討論．