Question

如圖直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，OA、OB的長分別是關于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的兩個根（OA＜OB），P為直線l上異于A、B兩點之間的一動點． 且PQ∥OB交OA于點Q．
（1）求直線l_AB斜率的大小；
（2）若S△PAQ=

1

3

S四OQPB時，請你確定P點在AB上的位置，并求出線段PQ的長；
（3）在y軸上是否存在點M，使△MPQ為等腰直角三角形，若存在，求出點M的坐標；
若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由

OA+OB=14 OA•OB=4(AB+2)

?AB2+8AB-180=0?AB=10，進而得到OA=6，OB=8，由此能得到直線l_AB斜率的大小．
（2）由S△PAQ=

1

3

S四OQPB，知

AP

AB

=

1

2

，即P為AB的中點，由此能求出PQ=

1

2

BO=4．
（3）由已知得l方程為4x+3y=24，然后分∠PQM=90°，∠MPQ=90°，∠PMQ=90°三種情況分別討論，求出點M的坐標．

解答：解：（1）由

OA+OB=14 OA•OB=4(AB+2)

?AB2+8AB-180=0?AB=10
進而得

OA=6 OB=8.

∴tan∠BAO=

4

3

．∴K_AB=tan（π-∠BAO）=-tan∠BAO=-

4

3

．
（2）∵S△APQ=

1

3

S四OQPB∴S△PAQ=

1

4

S△AOB?

S△PAQ

S△AOB

=(

AP

AB

)2=

1

4

∴

AP

AB

=

1

2

即P為AB的中點，∴PQ=

1

2

BO=4．
（3）由已知得l方程為4x+3y=24（*）

①當∠PQM=90°時，由PQ∥OB且|PQ|=|MQ|此時M點與原點O重合，設Q（a，0）則P（a，a）
有（a，a）代入（*）得a=

24

7

．
②當∠MPQ=90°，
由PQ∥OB且|MP|=|PQ|設Q（a，0）則M（0，a），P（a，a）進而得a=

24

7

．
③當∠PMQ=90°，由PQ∥OB，|PM|=|MQ|且|OM|=|OQ|=|PQ|
設Q（a，0）則M（0，a）點P坐標為（a，2a）代入（*）得a=

12

5

．
綜上所述，y軸上有三個點M₁（0，0），M₂（0，

24

7

）和M₃（0，

12

5

）滿足使△PMQ為等腰直角三角形．

點評：本題考查直線和圓的位置關系，解題時要認真審題，注意分類討論法的合理運用．