Question

已知圓O：x²+y²=r₁²（r₁＞0）與圓C：（x-a）²+（y-b）²=r₂²（r₂＞0）內切，且兩圓的圓心關于直線l：x-y+

2

=0對稱．直線l與圓O相交于A、B兩點，點M在圓O上，且滿足

OM

=

OA

+

OB

（1）求圓O的半徑r₁及圓C的圓心坐標；
（2）求直線l被圓C截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）由直線l方程與圓O聯解，得到關于x的一元二次方程，由根與系數的關系算出AB的中點M的坐標，根據點M在圓O上算出r₁=2，即可得到圓O的半徑及圓心坐標；
（2）由兩圓內切建立關系式算出r₂=4，再由點到直線的距離公式給垂徑定理，即可算出直線l被圓C截得的弦長．

解答：解：（1）由

x-y+ 2 =0 x2+y2= r 2 1

消去y，得2x2+2

2

x+2-

r

2 1

=0
由△=(2

2

)2-4×2×(2-

r

2 1

)≥0，解得r₁≥1（*）…（3分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則x0=x1+x2=-

2

，y0=y1+y2=x1+x2+2

2

=

2

又∵M(-

2

，

2

)在圓O上，
∴

r

2 1

=(-

2

)2+(

2

)2=4滿足（*）式
所以圓O的半徑r₁=2，圓心C的坐標為（-

2

，

2

）…（6分）
（2）∵圓O：x²+y²=4與圓C：(x+

2

)2+(y-

2

)2=

r

2 2

(r2＞0)內切，
∴|r2-2|=|OC|=

(- 2 )2+( 2 )2

=2，解得r₂=0（舍去）或r₂=4…（12分）
∵圓心C到直線l的距離為d=

|- 2 - 2 + 2 |

2

=1
∴直線l被圓C截得的弦長為2

r 2 2 -d2

=2

16-1

=2

15

…（14分）

點評：本題給出兩圓相內切，求圓心坐標和圓的半徑并求直線l被圓截得的弦長．著重考查了圓與圓的位置關系、圓的方程和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．