Question

已知圓O：x²+y²=1，點P在直線x=

3

上，O為坐標原點，若圓O上存在點Q，使∠OPQ=30°，則點P的縱坐標y₀的取值范圍是（　�。�

A．[-2，2]

B．[0，2]

C．[-1，1]

D．[0，1]

Answer 1

分析：圓O外有一點P，圓上有一動點Q，∠OPQ在PQ與圓相切時取得最大值．如果OP變長，那么∠OPQ可以獲得的最大值將變小．可以得知，當∠OPQ=30°，且PQ與圓相切時，PO=2，而當PO＞2時，Q在圓上任意移動，∠OPQ＜30°恒成立．因此滿足PO≤2，就能保證一定存在點Q，使得∠OPQ=30°，否則，這樣的點Q是不存在的；接下來進行計算：根據兩點間的距離公式表示出OP的長，再把P的坐標代入已知的直線方程中，用y₀表示出x₀，代入到表示出OP的長中，根據PO²≤4列出關于y₀的不等式，求出不等式的解集即可得到y₀的范圍．

解答：解：由分析可得：PO²=x₀²+y₀²，
又因為點P在直線x=

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上，所以x₀=

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，
由分析可知PO≤2，所以PO²≤4，即3+y₀²≤4，變形得：y₀²≤1，解得：-1≤y₀≤1，
即y₀的取值范圍是[-1，1]．
故選C．

點評：本題考查點與圓的位置關系，以及函數的定義域及其求法．解題的關鍵是結合圖形，利用幾何知識，判斷出PO≤2，從而得到不等式求出參數的取值范圍．