Question

【題目】已知橢圓：的右焦點為拋物線的焦點，，是橢圓上的兩個動點，且線段長度的最大值為4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

（1）根據拋物線和橢圓的幾何性質，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）當，為橢圓頂點時，易得的面積；當，不是橢圓頂點時，設直線的方程為，聯立方程組，利用根和系數的關系，以及弦長公式，求得，同理求得，得到面積的表達式，利用基本不等式，即可求解.

（1）∵的焦點為，

∴橢圓的右焦點為，即，

又的最大值為4，因此，

∴，，

所以橢圓的標準方程為.

（2）①當，為橢圓頂點時，易得的面積為，

②當，不是橢圓頂點時，設直線的方程為：，

由，得，所以，

由，得直線的方程為：，

所以，

所以

，

，當且僅當時等號成立，

所以，所以，

綜上，面積的最小值為.