Question

【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24，16，16.現采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查.

（I）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分布列與數學期望；

（ii）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發生的概率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）．

【解析】分析：（Ⅰ）由分層抽樣的概念可知應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．且分布列為超幾何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．據此求解分布列即可，計算相應的數學期望為．

（ii）由題意結合題意和互斥事件概率公式可得事件A發生的概率為．

詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數之比為3∶2∶2，

由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，

因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．

P（X=k）=（k=0，1，2，3）．

所以，隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P

隨機變量X的數學期望．

（ii）設事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；

事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，

則A=B∪C，且B與C互斥，

由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，

故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= ．

所以，事件A發生的概率為．