Question

已知函數，，其中的函數圖象在點處的切線平行于軸．

（1）確定與的關系； （2）若，試討論函數的單調性；

（3）設斜率為的直線與函數的圖象交于兩點（）證明：.

 

Answer 1

（1）；（2）當時，函數在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增．（3）詳見解析。

【解析】

試題分析：（1）由導數的幾何意義可知，即可得與的關系。（2）先求導數，及其零點，判斷導數符號，即可得原函數增減變化，注意分類討論。（3）由可得。然后分別證明不等式的左右兩側，兩側不等式的證明均需構造函數，再利用函數的單調性證明。

試題解析：【解析】
（1）依題意得，則

由函數的圖象在點處的切線平行于軸得：

∴ 4分

（2）由（1）得

∵函數的定義域為

①當時，

由得，由得，

即函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；

②當時，令得或，

若，即時，由得或，由得，

即函數在，上單調遞增，在單調遞減；

若，即時，由得或，由得，即函數在，上單調遞增，在單調遞減；

若，即時，在上恒有，即函數在上單調遞增.

綜上得：當時，函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；

當時，函數在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增，

當時，函數在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增．

9分

（3）依題意得，證，即證

因，即證. 令（），即證（）

令（）,則

∴在（1，+）上單調遞增，

∴=0，即（）①

再令m(t)=lnt t+1,= 1<0, m(t)在（1，+∞）遞減，

∴m(t)<m(1)=0，即lnt<t 1 ②

綜合①②得（），即． 14分

考點：1導數及導數的幾何意義；2用導數分析函數的單調性；3用單調性證明不等式。