Question

【題目】如圖1，已知菱形的對角線交于點，點為線段的中點，，，將三角形沿線段折起到的位置，，如圖2所示．

（Ⅰ）證明：平面 平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）折疊前，AC⊥DE；，從而折疊后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能證明DE⊥平面PCF．

再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．說明四邊形DEBC為平行四邊形．可得CB∥DE．由此能證明平面PBC⊥平面PCF．

（Ⅱ）由題意根據勾股定理運算得到，又由（Ⅰ）的結論得到 ，可得平面，再利用等體積轉化有，計算結果.

（Ⅰ）折疊前，因為四邊形為菱形，所以；

所以折疊后，，, 又，平面，

所以平面

因為四邊形為菱形，所以．

又點為線段的中點，所以．

所以四邊形為平行四邊形．

所以．

又平面，所以平面．

因為平面，所以平面平面．

（Ⅱ）圖1中，由已知得，，

所以圖2中，，又

所以，所以

又平面，所以

又，平面，

所以平面，

所以．

所以三棱錐的體積為．