Question

(本小題滿分13分)
定義F(x，y)＝(1＋x)^y，其中x，y∈(0，＋∞).
(1)令函數f(x)＝F(1，log₂(x³＋ax²＋bx＋1))，其圖象為曲線C，若存在實數b使得曲線C在x₀(－4<x₀<－1)處有斜率為－8的切線，求實數a的取值范圍；
(2)令函數g(x)＝F(1，log₂[(lnx－1)e^x＋x])，是否存在實數x₀∈[1，e]，使曲線y＝g(x)在點x＝x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由.
(3)當x，y∈N^?，且x<y時，求證：F(x，y)>F(y，x).

Answer 1

（1）a<10.
（2）略
（3）略

解：(1)f(x)＝F(1，log₂(x³＋ax²＋bx＋1))＝x³＋ax²＋bx＋1，設曲線C在x₀(－4<x₀<－1)處有斜率為－8的切線，
又由題設知log₂(x³＋ax²＋bx＋1)>0，f′(x)＝3x²＋2ax＋b，
3x²₀+2ax₀+b="-8 " ①
∴存在實數b使得  -4<x₀<-1      ② 有解，(3分)
x³₀+ax²₀+bx₀>0 ③
由①得b＝－8－3x－2ax₀，代入③得－2x－ax₀－8<0，
∴由   2x²₀+ax₀+8>0 有解，
-4< x₀<-1
得2×(－4)²＋a×(－4)＋8>0或2×(－1)²＋a×(－1)＋8>0，
∴a<10或a<10，∴a<10.(5分)
(2)∵g(x)＝(lnx－1)e^x＋x，
∴g′(x)＝(lnx－1)′e^x＋(lnx－1)(e^x)′＋1＝＋(lnx－1)e^x＋1＝(＋lnx－1)e^x＋1.(6分)
設h(x)＝＋lnx－1.則h′(x)＝－＋＝，
當x∈[1，e]時，h′(x)≥0.
h(x)為增函數，因此h(x)在區間[1，e]上的最小值為ln1＝0，即＋lnx－1≥0.
當x₀∈[1，e]時，ex₀>0，＋lnx₀－1≥0，
∴g′(x₀)＝(＋lnx₀－1)ex₀＋1≥1>0.(8分)
曲線y＝g(x)在點x＝x₀處的切線與y軸垂直等價于方程g′(x₀)＝0有實數解.
而g′(x₀)>0，即方程g′(x₀)＝0無實數解.
故不存在實數x₀∈[1，e]，使曲線y＝g(x)在點x＝x₀處的切線與y軸垂直.(9分)