Question

設a_n=-2n+21，則數列{a_n}從首項到第幾項的和最大（ ）
A．第10項
B．第11項
C．第10項或11項
D．第12項

Answer 1

【答案】分析：方法一：由a_n，令n=1求出數列的首項，利用a_n-a_n-1等于一個常數，得到此數列為等差數列，然后根據求出的首項和公差寫出等差數列的前n項和的公式，得到前n項的和與n成二次函數關系，其圖象為開口向下的拋物線，當n=-時，前n項的和有最大值，即可得到正確答案；
方法二：令a_n大于等于0，列出關于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范圍，在n的范圍中找出最大的正整數解，從這項以后的各項都為負數，即可得到正確答案．
解答：解：方法一：由a_n=-2n+21，得到首項a₁=-2+21=19，a_n-1=-2（n-1）+21=-2n+23，
則a_n-a_n-1=（-2n+21）-（-2n+23）=-2，（n＞1，n∈N⁺），
所以此數列是首項為19，公差為-2的等差數列，
則S_n=19n+•（-2）=-n²+20n，為開口向下的拋物線，
當n=-=10時，S_n最大．
所以數列{a_n}從首項到第10項和最大．
方法二：令a_n=-2n+21≥0，
解得n≤，因為n取正整數，所以n的最大值為10，
所以此數列從首項到第10項的和都為正數，從第11項開始為負數，
則數列{a_n}從首項到第10項的和最大．
故選A
點評：此題的思路可以先確定此數列為等差數列，根據等差數列的前n項和的公式及二次函數求最值的方法得到n的值；也可以直接令a_n≥0，求出解集中的最大正整數解，要求學生一題多解．