Question

【題目】某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得如圖柱狀圖：
以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數．

（1）求X的分布列；
（2）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；
（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n=19與n=20之中選其一，應選用哪個？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，

P（X=16）=（ ）2= ，

P（X=17）= ，

P（X=18）=（ ）2+2（ ）2= ，

P（X=19）= = ，

P（X=20）= = ，

P（X=21）= = ，

P（X=22）= ，

∴X的分布列為：

X	16	17	18	19	20	21	22
P

（2）

解：由（1）知：

P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）

= ．

P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）

= ．

∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值為19

（3）

解：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）

= ．

買19個所需費用期望：

EX1=200× +（200×19+500）× +（200×19+500×2）× +（200×19+500×3）× =4040，

買20個所需費用期望：

EX2= +（200×20+500）× +（200×20+2×500）× =4080，

∵EX1＜EX2，

∴買19個更合適

【解析】離散型隨機變量及其分布列.（1）由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．（2）由X的分布列求出P（X≤18）= ，P（X≤19）= ．由此能確定滿足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．（3）由X的分布列得P（X≤19）= ．求出買19個所需費用期望EX1和買20個所需費用期望EX2 ， 由此能求出買19個更合適.本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法及應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．