Question

（2013•日照一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD．若動點P從點A出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

，下列判斷正確的是（　　）

A．滿足λ+μ=2的點P必為BC的中點

B．滿足λ+μ=1的點P有且只有一個

C．λ+μ的最大值為3

D．λ+μ的最小值不存在

Answer 1

分析：建立坐標系可得

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ），A，B選項可舉反例說明，通過P的位置的討論，結合不等式的性質可得0≤λ+μ≤3，進而可判C，D的正誤，進而可得答案．

解答：解：由題意，不妨設正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標系，
則B（1，0），E（-1，1），故

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），
所以

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ），
當λ=μ=1時，

AP

=（0，1），此時點P與D重合，滿足λ+μ=2，但P不是BC的中點，故A錯誤；
當λ=1，μ=0時，

AP

=（1，0），此時點P與B重合，滿足λ+μ=1，
當λ=

1

2

，μ=

1

2

時，

AP

=（0，

1

2

），此時點P為AD的中點，滿足λ+μ=1，
故滿足λ+μ=1的點不唯一，故B錯誤；
當P∈AB時，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
當P∈BC時，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
當P∈CD時，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
當P∈AD時，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
綜上可得0≤λ+μ≤3，故C正確，D錯誤．
故選C

點評：本題考查向量加減的幾何意義，涉及分類討論以及反例的方法，屬中檔題．