Question

如圖3-3-16所示，在長為4、寬為2的矩形中有一以矩形的長為直徑的半圓，試用隨機模擬法近似計算半圓的面積，并估計π的值.

圖3-3-16

Answer 1

設事件A“隨機向矩形內投點，所投的點在半圓內”.
第一步,用計數器n記錄做了多少次投點試驗，用計數器m記錄其中有多少次落在(x,y)滿足的條件x²+y²<4(即點落在半圓內).首先置n=0,m=0；
第二步,用變換rand()*4-2產生-2—2之間的均勻隨機數x表示所投的點的橫坐標；用變換rand()*2產生0—2之間的均勻隨機數y表示所投點的縱坐標；
第三步,判斷點是否落在陰影部分，即是否滿足x²+y²<4.如果是，則計數器m的值加1，即m=m+1.如果不是，m的值保持不變；
第四步,表示隨機試驗次數的計數器n的值加1，即n=n+1.如果還要繼續試驗，則返回第二步繼續執行，否則，程序結束.
程序結束后事件A發生的頻率作為事件A的概率的近似值.
設半圓的面積為S，矩形的面積為8，由幾何概率計算公式得P(A)=.
所以≈.
所以S≈即為陰影部分面積的近似值.
由面積公式得S=2π，
所以π≈.

本題考查幾何概型的計算公式及均勻隨機數的產生方法.