Question

設函數f(x)=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（1）已知曲線上的點，并且知道過此點的切線方程，容易求出斜率，又知點（2，f（2））在曲線上，利用方程聯立解出a，b
（2）可以設P（x₀，y₀）為曲線上任一點，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線x=0和直線y=x聯立，得到交點坐標，接著利用三角形面積公式即可．

解答：解析：（1）方程7x-4y-12=0可化為y=

7

4

x-3，當x=2時，y=

1

2

，
又f′(x)=a+

b

x2

，于是

2a- b 2 = 1 2 a+ b 4 = 7 4

，解得

a=1 b=3

，故f(x)=x-

3

x

．

（2）設P（x₀，y₀）為曲線上任一點，由y′=1+

3

x2

知曲線在點P（x₀，y₀）處的切線方程為y-y0=(1+

3

x02

)(x-x0)，即y-(x0-

3

x0

)=(1+

3

x02

)(x-x0)
令x=0，得y=-

6

x0

，從而得切線與直線x=0的交點坐標為(0，-

6

x0

)；
令y=x，得y=x=2x₀，從而得切線與直線y=x的交點坐標為（2x₀，2x₀）；
所以點P（x₀，y₀）處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為

1

2

|-

6

x0

||2x0|=6．
故曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．

點評：高考考點：導數及直線方程的相關知識
易錯點：運算量大，不仔細而出錯．
備考提示：運算能力一直是高考考查的能力之一，近年來，對運算能力的要求降低了，但對準確率的要求提高了．