Question

（2013•安慶三模）在三角形ABC中，若角A、B、C所對的三邊a、b、c成等差數列，則下列結論中正確的是

①③④

．
①b²≥ac；  ②

1

a

+

1

c

≤

2

b

；   ③b²≤

a2+c2

2

；   ④tan²

B

2

≤tan

A

2

tan

C

2

．

Answer 1

分析：由a、b、c成等差數列，則2b=a+c，利用基本不等式可判斷①②③，利用正弦定理與余弦定理，結合基本不等式可判斷④的正誤，從而可得答案．

解答：解：由a、b、c成等差數列，則2b=a+c≥2

ac

⇒b²≥ac，故①正確；
∴

1

a

+

1

c

=

a+c

ac

=

2b

ac

≥

2b

b2

=

2

b

，
∴②不正確；
∴b²-

a2+c2

2

=

(a+c)2

4

-

a2+c2

2

=-

(a-c)2

4

≤0，
∴③正確；
由正弦定理得：2b=a+c⇒2sinB=sinA+sinC
⇒2sin

B

2

cos

B

2

=sin

A+C

2

cos

A-C

2

⇒2cos

A+C

2

cos

B

2

=cos

B

2

cos

A-C

2

⇒2cos

A+C

2

=cos

A-C

2

⇒cos

A

2

cos

C

2

=3sin

A

2

sin

C

2

⇒tan

A

2

tan

C

2

=

1

3

又由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4a2+4c2-(a+c)2

8ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

4ac

8ac

=

1

2

，
∴0＜B≤

π

3

，
∴tan²

B

2

≤

1

3

，
∴tan²

B

2

≤tan

A

2

tan

C

2

．成立，
故答案為：①③④．

點評：本題考查基本不等式，突出考查正弦定理與余弦定理及基本不等式的綜合應用，屬于難題．