Question

已知橢圓的長軸兩端點分別為，是橢圓上的動點，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點，交于點．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點時，的面積為12，點到直線的距離為，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數列．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）由的面積為12，點到直線的距離為，列出關于的方程求解；（Ⅱ）用坐標表示各點，然后求出的長，計算比較即可.
試題解析：（Ⅰ）如圖1，當時，過點，，
∵的面積為12，，即．①               2分
此時，直線方程為．
∴點到的距離． ②    4分
由①②解得．            6分
∴所求橢圓方程為．      7分
（Ⅱ）如圖2，當時，，設，
由三點共線，及，
（說明：也可通過求直線方程做）
得，
，即．  9分
由三點共線，及，
得，
，即．  11分
又，.            13分
而．  15分
，即有成等比數列．                      16分