Question

【題目】設函數 ， ，對任意， ，不等式恒成立，則正數的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：當x＞0時，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，對函數g（x）求導，利用導數研究函數的單調性，進而可求g（x）的最大值，問題轉化為，可求正數的取值范圍．

詳解：∵當x＞0時，f（x）=e2x+≥2 ，

∴x1∈（0，+∞）時，函數f（）有最小值2e，

∵g（x）=，∴=，

當x＜1時， ＞0，則函數g（x）在（0，1）上單調遞增，

當x＞1時， ＜0，則函數在（1，+∞）上單調遞減，

∴x=1時，函數g（x）有最大值g（1）=e，

則有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，

∵不等式恒成立且k＞0，

∴，∴k≥1.

故答案為：k≥1