Question

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內切圓半徑為．記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點．
（i）若（為坐標原點），當點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；
（ii）若是與橢圓的交點，求的面積的最小值．

Answer 1

(1)；(2) （i）,（ii）

試題分析：（1）由題意得 又，解得，．因此所求橢圓的標準方程為．                               ……4分
（2）（i）假設所在的直線斜率存在且不為零，設所在直線方程為，．解方程組得，，
所以．               ……6分
設，由題意知，所以，即，因為是的垂直平分線，所以直線的方程為，即，因此，              ……8分
又，所以，故．
又當或不存在時，上式仍然成立．
綜上所述，的軌跡方程為．                    ……10分
（ii）當存在且時，由（1）得，，
由解得，，        
所以，
，．                     ……12分
由于
，當且僅當時等號成立，即時等號成立，此時面積的最小值是．……14分
當，．當不存在時，．綜上所述，的面積的最小值為．……16分
解法二：
因為，
又，，
當且僅當時等號成立，即時等號成立，
此時面積的最小值是．
當，．
當不存在時，．
綜上所述，的面積的最小值為．
點評：對于直線與圓錐曲線的綜合問題，往往要聯立方程，同時結合一元二次方程根與系數的關系進行求解；而對于最值問題，則可將該表達式用直線斜率k表示，然后根據題意將其進行化簡結合表達式的形式選取最值的計算方式.