Question

已知周長為定值的扇形OAB，當其面積最大時，向其內任意擲點，則點落在△OAB內的概率是多少？

Answer 1

【答案】分析：根據扇形面積公式，利用基本不等式，求出當圓心角α=2時，扇形的面積S有最大值，再利用幾何概型計算公式，即可求出所求的概率．
解答：解：設扇形周長為m，半徑為r，則弧長l=m-2r．
∴扇形的面積S=lr=r（m-2r）=•2r•（m-2r）
∵2r•（m-2r）≤=，
∴當且僅當r=時，扇形的面積S的最大值為．
此時扇形的弧長為，故此時扇形的圓心角為α==2
因此，點落在△OAB內的概率為
P====sin2
答：當扇形面積最大時，向其內任意擲點，該點落在△OAB內的概率是sin2．
點評：本題給出周長為定值的扇形，求其面積最大時擲點，能落在在△OAB內的概率．著重考查了扇形的面積公式、弧長公式、基本不等式求最值和幾何概型等知識，屬于中檔題．