Question

如圖所示，一輛載著重危病人的火車從O地出發，沿射線OA行駛（北偏東α角），其中tanα=

1

3

，在距離O地5a km（a為正數）北偏東β角的N處住有一位醫學專家，其中sinβ=

3

5

．現110指揮部緊急征調離O地正東p km的B處的救護車趕往N處載上醫學專家全速追趕載有重危病人的火車，并在C處相遇，經測算當輛車行駛路線與OB圍成的三角形OBC面積S最小時，搶救最及時．
（1）求S關于p的函數關系；
（2）當p為何值時，搶救最及時？

Answer 1

分析：（1）由已知中射線OA行駛（北偏東α角），其中tanα=

1

3

，在距離O地5a km（a為正數）北偏東β角的N處住有一位醫學專家，其中sinβ=

3

5

．我們可能建立直角坐標系，分別求出直線的方程和點的坐標，進而可以得到S關于p的函數關系；
（2）p為何值時，搶救最及時，可轉化為求函數的最小值，根據（1）中的函數解析式，利用基本不等式，可求出函數的最小值，進而得到答案．

解答：解：（1）建立如圖所示的直角坐標系，
∵ON=5a，sinβ=

3

5

，∴sin∠BON=

4

5

，cos∠BON=

3

5

，∴N點的坐標為（3a，4a）．
又射線OA的方程為y=3x，
又B（p，0），∴直線BN的方程為

y-0

4a-0

=

x-p

3a-p

(p≠3a)
∴y=

4a

3a-p

(x-p)，(x≠3a)．…（4分）
當p=3a時，C（3a，9a），S=

1

2

•3a•9a=

27

2

a2．
當p≠3a時，方程組

y=3x y= 4a 3a-p (x-p)

，解為

x= 4ap 3p-5a y= 12ap 3p-5a .

(p＞

5

3

a)

∴點C的坐標為(

4ap

3p-5a

，

12ap

3p-5a

)(p＞

5

3

a)．
∴S=

1

2

•|OB|•|yc|=

1

2

p•

12ap

3p-5a

=

6ap2

3p-5a

(p＞

5

3

a)．對p=3a也成立．
∴S=

6ap2

3p-5a

(p＞

5

3

a)．…（8分）
（2）由（1）得S=

6ap2

3p-5a

=

2ap2

p- 5 3 a

(p＞

5

3

a)．
令p-

5

3

a=t＞0，∴S=

2a( 5 3 a+t)2

t

=2a(t+

25a2

9t

+

10

3

a)≥

40

3

a2，
當且僅當t=

25a2

9t

，即t=

5a

3

，此時p=

10a

3

，上式取等號，∴當p=

10a

3

Km時，S有最小值，即搶救最及時．…（14分）

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，其中解答的關鍵是建立平面直角坐標系，將題目中的相關直線、點的方程或坐標具體化，進而擬合出函數模型．