Question

已知,，點滿足，記點的軌跡為，過點作直線與軌跡交于兩點，過作直線的垂線、，垂足分別為，記。
（1）求軌跡的方程；
（2）設點，求證：當取最小值時，的面積為．

Answer 1

（1）由|PF₁|－|PF₂|＝2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡S是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支．
由c＝2,2a＝2，∴b²＝3．故軌跡S的方程為x²－＝1 (x≥1)   …….……4分

（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為y＝k(x－2)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，與雙曲線方程聯立消y得(k²－3)x²－4k²x＋4k²＋3＝0．                      ……5分
∴  解得k²＞3．…… 7分

 

略