Question

給定橢圓：  ，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足．
（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線,使得直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為．求出的值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

（1）中據(jù)橢圓定義及伴橢圓定義容易求出方程；
（2）線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)即直線與橢圓相切，，
截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為，利用直線與圓弦心距，點(diǎn)到直線距離公式，表示出弦長(zhǎng)
解：（Ⅰ）由題意得：得，半焦距．．．．2分
則橢圓的方程為 “伴隨圓”的方程為
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)，且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線為，
則　　整理得．．．．．．．．．2分
所以，解 ①．．．．．．．．4分
又因?yàn)橹本�截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為，
則有  化簡(jiǎn)得   ② ．．．．6分
聯(lián)立①②解得，，所以