Question

設函數f(x)=

sinx

2+cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）證明：對任意的x≥0，都有f(x)≤

1

3

x．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數的符號求出函數的單調區間，使導數大于0的區間就是函數的增區間，使導數小于0的區間就是函數的減區間．
（Ⅱ）令F(x)=f(x)-

1

3

x，利用導數F'（x）≤0，可得因而F（x）在[0，+∞）上遞減，
對于?x≥0，都有F（x）≤F（0）=0，不等式得到證明．

解答：解：（1）由已知得，f′(x)=

2cosx+1

(2+cosx)2

（2分）
令f'（x）＞0，得2cosx+1＞0，即cosx＞-

1

2

，
解得x∈(-

2π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ)（4分）
令f'（x）＜0，得2cosx+1＜0，即cosx＜-

1

2

，
解得x∈(

2π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ)（6分）
故單增區間為(-

2π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ)，
單減區間為(

2π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ)．（k∈Z）
（2）令F(x)=f(x)-

1

3

x，
則F(x)=

sinx

2+cosx

-

1

3

xF′(x)=

2cosx+1

(2+cosx)2

-

1

3

=

-(cosx-1)2

(2+cosx)2

，（8分）
故對于?x≥0，都有F'（x）≤0因而F（x）在[0，+∞）上遞減，（10分）
對于?x≥0，都有F（x）≤F（0）=0
因此對于?x≥0，都有f(x)≤

1

3

x（12分）

點評：本題考查利用導數來研究函數的單調性和單調區間，體現了等價轉化的數學思想．