Question

設函數f(x)=sinx-

3

cosx+x+1．
（Ⅰ）求函數f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）記△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，f′（B）=3且a+c=2，求邊長b的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定切點坐標，求導函數求斜率，即可求得切線方程；
（Ⅱ）先求B，再利用余弦定理，結合基本不等式，即可求得邊長b的最小值．

解答：解：（Ⅰ）當x=0時，f（0）=1-

3

，則切點為（0，1-

3

）
∵f′(x)=cosx+

3

sinx+1，∴f′（0）=2
∴函數f（x）在x=0處的切線方程為y-（1-

3

）=2（x-0），即y=2x+（1-

3

）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（B）=2sin（B+

π

6

）+1=3，即sin（B+

π

6

）=1，∴B=

π

3

由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=4-3ac≥4-3•(

a+c

2

)2=4-3=1
當且僅當a=c=1時，取等號
∴b²≥1，
∵b＞0，∴b≥1，
∴b_min=1．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查余弦定理、基本不等式的運用，屬于中檔題．