Question

【題目】已知點 ，橢圓 ： （ ）的離心率為 ， 是橢圓 的右焦點，直線 的斜率為， 為坐標原點.

（1）求 的方程；

（2）設過點 的動直線 與 相交于 ， 兩點，當 的面積最大時，求 的方程.

Answer 1

【答案】(1) 的方程為;(2) 的方程為 或.

【解析】試題分析：（1）首先設，根據直線的斜率可列式，求。再根據離心率求，最后根據求 ，得到橢圓方程；（2）設直線的方程是與橢圓方程聯立后得到根與系數的關系，求弦長，以及點到直線的距離，將面積表示為的函數，換元后求函數的最值，以及取得最值時的直線方程.

試題解析：（1）設 ，由條件知， ，得

又 ，所以 ，

故 的方程為

（2）當 軸時不合題意，

故可設： ， ，

將 代入 得 ，

當 ，即 時，

從而

又點 到直線 的距離

所以 的面積

設 ，則 ，

因為 ，當且僅當 ，即 時等號成立，滿足

所以，當 的最大面積時，， 的方程為 或