Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,左頂點(diǎn)為

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于（不同于點(diǎn)的）兩點(diǎn).試判斷直線與軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為；（2）直線與軸的交點(diǎn)是定點(diǎn),坐標(biāo)為.

【解析】試題分析：（1）由已知得 橢圓的方程為

（2）①當(dāng)直線與軸垂直時(shí) 的方程為聯(lián)立直線與軸的交點(diǎn)為②當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)設(shè)直線的方程為聯(lián)立且即由題意知 或

直線與軸的交點(diǎn)為.

試題解析：

（1）由已知得

所以橢圓的方程為

（2）①當(dāng)直線與軸垂直時(shí),直線的方程為

聯(lián)立得解得

此時(shí)直線的方程為直線與軸的交點(diǎn)為

②當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),設(shè)直線的方程為

聯(lián)立得

設(shè)則

且即

而由題意知,

即

解得或

當(dāng)時(shí),滿足直線的方程為此時(shí)與軸的交點(diǎn)為故直線與軸的交點(diǎn)是定點(diǎn),坐標(biāo)為