Question

如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點，F為線段EC上一動點．現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足．設AK＝t，則t的取值范圍是________．

Answer 1

如圖，過D作DG⊥AF，垂足為G，連接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.又DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.

容易得到，當F運動到E點時，K為AB的中點，t＝AK＝＝1；當F運動到C點時，在Rt△ADF中，易得AF＝，且AG＝，GF＝，又易知Rt△AGK∽Rt△ABF，則，又AB＝2，AK＝t，則t＝.∴t的取值范圍是.