Question

【題目】如圖，在長方體中，點是棱的中點，點 在棱上，且（為實數）．

（1）求二面角的余弦值；

（2）當時，求直線與平面所成角的正弦值的大小；

（3）求證：直線與直線不可能垂直．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】分析：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，算出相應向量的坐標，利用垂直向量的數量積等于零的方法建立方程組，算出平面對應的法向量，之后應用平面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值；’

(2)當時，可得E,F的坐標，從而求得的坐標，進而算出的余弦值，再由其為銳角，結合直線與平面所成角的定義，即可算出直線與平面所成角的正弦值的大小；

(3)假設直線與直線垂直，根據向量的數量積等于零，建立關于的等量關系式，化簡可得，由根的判別式小于零得該方程無解，從而得到假設不成立，從而得到原結論成立.

詳解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標系．

則 ，

設平面的法向量為，

則．即．令，則．

∴平面的一個法向量．又平面的一個法向量為．

故，即二面角的余弦值為.

（2）當λ =時，E（0，1，2），F（1，4，0），．

所以．

因為 ，所以為銳角，

從而直線EF與平面所成角的正弦值的大小為．

(3)假設，則．

∵，

∴，．

∴．化簡得．

該方程無解，所以假設不成立，即直線不可能與直線不可能垂直．