Question

已知橢圓的左焦點為F，左右頂點分別為A、C，上頂點為B，過F，B，C三點作圓P，其中圓心P的坐標為（m，n）．
（Ⅰ）當m+n≤0時，橢圓的離心率的取值范圍．
（Ⅱ）直線AB能否和圓P相切？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓心是兩條弦的中垂線的交點，可求圓心坐標，注意a²-b²=c²．
（2）假設相切，運用兩點表示的斜率公式求出k_AB^和k_PB，則k_AB•k_PB=-1，由此推出c²=2ac，這與0＜c＜a矛盾．
解答：解：（Ⅰ）由題意FC，BC的中垂線方程分別為，
于是圓心坐標為．（4分）
m+n=，即ab-bc+b²-ac≤0，
即（a+b）（b-c）≤0，所以b≤c，于是b²≤c²＞即a²≤2c²，
所以，又0＜e＜1，∴．（7分）
（Ⅱ）假設相切，則k_AB•k_PB=-1，（9分）
∵，（11分）
∴a²-c²+ac=a²-ac，即c²=2ac，∵c＞0，∴c=2a這與0＜c＜a矛盾．
故直線AB不能與圓P相切．（13分）
點評：本題主要考查直線與圓、橢圓的位置關系以及分析問題與解決問題的能力．