Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)R, .
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于的方程為自然對數(shù)的底數(shù))只有一個實數(shù)根, 求的值.

Answer 1

(1)解: 函數(shù)的定義域為.
∴.
① 當, 即時, 得,則.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.                ……2分
② 當, 即時, 令 得,
解得.                           
(ⅰ) 若, 則.
∵, ∴,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.… 4分
(ⅱ)若,則時, ;
時, ,
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
在區(qū)間上單調(diào)遞增.…… 6分
綜上所述, 當時, 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;  
當時, 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,
單調(diào)遞增區(qū)間為 …… 8分
(2) 解: 由, 得, 化為.
令, 則.令, 得.
當時, ; 當時, .
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上單調(diào)遞減.
∴當時, 函數(shù)取得最大值, 其值為.      …… 10分
而函數(shù),
當時, 函數(shù)取得最小值, 其值為.     …… 12分
∴ 當, 即時, 方程只有一個根.…… 14分

略