Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-x²+ax-a（a∈R）．
（1）當a=-3時，求函數f（x）的極值；
（2）若函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a=-3得到f（x）的解析式，求出導函數等于0時x的值，討論函數的增減性得到函數的極值；
（2）求出導函數，利用導函數根的判別式討論導函數=0方程的解的情況得到關于a的不等式，因為圖象與x軸有且只有一個交點，①根的判別式小于等于0，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）在R上單調遞增，f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0；②根的判別式大于0時由f（x₁）•f（x₂）＞0得到求出a的解集可．

解答：解：（1）當a=-3時，f(x)=

1

3

x3-x2-3x+3，
∴f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）．
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=3．
當x＜-1時，f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，-1）上單調遞增；
當-1＜x＜3時，f′（x）＜0，則f（x）在（-1，3）上單調遞減；
當x＞3時，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上單調遞增．
∴當x=-1時，f（x）取得極大值為f（-1）=-

1

3

-1+3+3=

14

3

；
當x=3時，f（x）取得極小值為f(3)=

1

3

×27-9-9+3=-6．
（2）∵f′（x）=x²-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．
①若a≥1，則△≤0，∴f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在R上單調遞增．∵f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．
②若a＜1，則△＞0，∴f′（x）=0有兩個不相等的實數根，不妨設為x₁，x₂，（x₁＜x₂）．∴x₁+x₂=2，x₁x₂=a．
當x變化時，f′（x），f（x）的取值情況如下表：
∵x₁²-2x₁+a=0，∴a=-x₁²+2x₁．
∴f(x1)=

1

3

x

3 1

-

x

2 1

+ax1-a=

1

3

x

3 1

-

x

2 1

+ax1+

x

2 1

-2x1=

1

3

x

3 1

+(a-2)x1=

1

3

x1[

x

2 1

+3(a-2)]．
同理f（x₂）=

1

3

x2[

x

2 2

+3(a-2)]．
∴f(x1)•f(x2)=

1

9

x

1

x

2

[

x

2 1

+3(a-2)]•[

x

2 2

+3(a-2)]=

1

9

(x1x2)[(x1x2)2+3(a-2)(

x

2 1

+

x

2 2

)+9(a-2)2]=

1

9

a{a2+3(a-2)[(x1+x2)2-2x1x2]+9(a-2)2}=

4

9

a(a2-3a+3)．
令f（x₁）•f（x₂）＞0，解得a＞0．
而當0＜a＜1時，f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
故當0＜a＜1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．
綜上所述，a的取值范圍是（0，+∞）．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，分類討論的數學思想．