Question

已知f（x）是二次函數，且滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x
（1）求f（x）；    
（2）若y=f（x）-kx在[2，4]單調，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1求得c的值，再由f（x+1）-f（x）=2x求得a、b的值，從而求得f（x）的解析式．
（2）由于y=x²-（k+1）x+1 在[2，4]單調，可得

k+1

2

≤2，或

k+1

2

≥4，解不等式求得k的取值范圍．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1求得c=1，故f（x）=ax²+bx+1．
再由f（x+1）-f（x）=2x可得 a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2ax+a+b=2x，
故有 2a=2，且a+b=0，
∴a=1，b=-1，f（x）=x²-x+1．
（2）由于y=f（x）-kx=x²-（k+1）x+1 在[2，4]單調，
∴

k+1

2

≤2，或

k+1

2

≥4．
解得 k≤3，或k≥7，
故k的取值范圍為{k|k≤3，或k≥7}．

點評：本題主要考查利用待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質應用，屬于基礎題．