Question

【題目】隨著經濟模式的改變，微商和電商已成為當今城鄉一種新型的購銷平臺．已知經銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內，每售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元，未售出的商品，每1噸虧損0.3萬元．根據往年的銷售經驗，得到一個銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖如右圖所示．已知電商為下一個銷售季度籌備了130噸該商品．現以x（單位：噸，100≤x≤150）表示下一個銷售季度的市場需求量，T（單位：萬元）表示該電商下一個銷售季度內經銷該商品獲得的利潤． （Ⅰ）視x分布在各區間內的頻率為相應的概率，求P（x≥120）
（Ⅱ）將T表示為x的函數，求出該函數表達式；
（Ⅲ）在頻率分布直方圖的市場需求量分組中，以各組的區間中點值（組中值）代表該組的各個值，并以市場需求量落入該區間的頻率作為市場需求量取該組中值的概率（例如x∈[100，110），則取x=105，且x=105的概率等于市場需求量落入100，110）的頻率），求T的分布列及數學期望E（T）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據頻率分布直方圖及兩兩互斥事件概率的可加性得P（x≥120）=P（120≤x＜130）+P（130≤x＜140）+P（140≤x≤150）=0.030×10+0.025×10+0.015×10=0.7． （Ⅱ）當x∈[100，130）時，T=0.5x﹣0.3（130﹣x）=0.8x﹣39；
當x∈[130，150]時，T=0.5×130=65．
∴T= ．
（Ⅲ）由題意及（Ⅱ）可得：
當x∈[100，110）時，T=0.8×105﹣39=45，P（T=45）=0.010×10=0.1；
當x∈[110，120）時，T=0.8×115﹣39=53，P（T=53）=0.020×10=0.2；
當x∈[120，130）時，T=0.8×125﹣39=61，P（T=61）=0.030×10=0.3；
當x∈[130，150）時，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10=0.4．
所以T的分布列為

T	45	53	61	65
P	0.1	0.2	0.3	0.4

所以，E（T）=45×0.1+53×0.2+61×0.3+65×0.4=59.4（萬元）
【解析】（Ⅰ）根據頻率分布直方圖及兩兩互斥事件概率的可加性得P（x≥120）=P（120≤x＜130）+P（130≤x＜140）+P（140≤x≤150）．（Ⅱ）當x∈[100，130）時，T=0.5x﹣0.3（130﹣x）=0.8x﹣39；當x∈[130，150]時，T=0.5×130，即可得出．（Ⅲ）由題意及（Ⅱ）可得：當x∈[100，110）時，T=0.8×105﹣39，P（T=45）=0.010×10；當x∈[110，120）時，T=0.8×115﹣39，P（T=53）=0.020×10；當x∈[120，130）時，T=0.8×125﹣39，P（T=61）=0.030×10；當x∈[130，150）時，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10．即可得出T的分布列及其數學期望．
【考點精析】掌握離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．