Question

變量x、y滿足
(1)設z＝，求z的最小值；
(2)設z＝x²＋y²，求z的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析： 由題意畫出可行域，分別求出可行域各頂點、、坐標.（1）將所求目標函數構造為，此時可以看作是可行域內的點與原點連成直線的斜率的最小值，由于可行域范圍在第一象限內，所以可行域內的點與原點連線中傾斜角最小的為，故，再由頂點坐標可求出的最小值；（2）將目標函數構造為，此時可以看作是可行域內的點與原點之間距離的范圍，經查驗比較可得，，通過計算、的值可以求出所求的取值范圍.提示：在解決此類線性規劃問題中，常常把目標函數構造出斜截式的直線方程、過原點直線的斜率、與某一定點間的距離等等，再通過求截距、斜率、距離來求出目標函數的值.
試題解析：由約束條件，作出可行域如圖所示.
    3分
由，解得
由，解得
由，解得.      6分
（1）因為，所以的值即是可行域中的點與原點連線的斜率.
觀察圖形可知        9分
（2）的幾何意義是可行域上的點到原點的距離的平方，
結合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，，，
所以所求的取值范圍為.