Question

已知兩圓x²+y²-2x+10y-24=0和 x²+y²+2x+2y-8=0
（1）判斷兩圓的位置關系；
（2）求公共弦所在的直線方程；
（3）求公共弦的長．

Answer 1

分析：（1）將兩圓化成標準方程，得到它們的圓心和半徑，用兩點距離公式求出圓心距，最后用圓心距離與兩圓的半徑和與差進行比較，即可得到兩圓的位置關系；
（2）兩圓的一般式方程相減，再化簡整理得到x-2y+4=0，即為兩圓公共弦所在直線的方程；
（3）求出第一個圓的圓心到直線x-2y+4=0的距離，再結合垂直于直徑的弦的性質，即可得到兩圓的公共弦長．

解答：解：（1）將兩圓化為標準方程，得C₁：（x-1）²+（y+5）²=50，C₂：（x+1）²+（y+1）²=10
∴圓C₁的圓心為（1，-5），半徑為r₁=5

2

；圓C₂的圓心為（-1，-1），半徑為r₂=

10

…（4分）
又∵|C₁C₂|=

(1+1)2+(-5+1)2

=2

5

，r₁+r₂=5

2

+

10

，r₁-r₂=5

2

-

10

，
可得 r₁-r₂＜|C₁C₂|＜r₁+r₂…（5分）
∴兩圓相交…（6分）
（2）將兩圓的方程相減，得4x-8y+16=0，
化簡得：x-2y+4=0，
∴公共弦所在直線的方程是x-2y+4=0．…（9分）
（3）由（2）知圓C₁的圓心（1，-5）到直線x-2y+4=0的距離
d=

|1-2×(-5)+4|

12+(-2)2

=3

5

…（12分）
由此可得，公共弦的長l=2

r12-d2

=2

50-45

=2

5

…（14分）

點評：本題給出兩個定圓，求它們的公共弦所在直線方程并求弦長，著重考查了圓的標準方程與一般方程、圓與圓的位置關系和直線與圓的位置關系等知識，屬于基礎題．