Question

（2012•深圳一模）如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，AE=BE=

3

，且當(dāng)規(guī)定正視圖方向垂直平面ABCD時(shí)，該幾何體的側(cè)視圖的面積為

2

2

．若M、N分別是線段DE、CE上的動(dòng)點(diǎn)，則AM+MN+NB的最小值為

3

．

Answer 1

分析：由幾何體的側(cè)視圖的面積為

2

2

求出幾何體的高AD，再四棱錐E-ABCD的側(cè)面AED、DEC、CEB展開(kāi)鋪平，在平面內(nèi)利用余弦定理求得線段AM+MN+NB長(zhǎng)為所求．

解答：解：取AB中點(diǎn)F，∵AE=BE=

3

，∴EF⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，
易求EF=

2

，
左視圖的面積S=

1

2

AD•EF=

1

2

×

2

AD=

2

2

，
∴AD=1，∴∠AED=∠BEC=30°，∠DEC=60°，
將四棱錐E-ABCD的側(cè)面AED、DEC、CEB展開(kāi)鋪平如圖，
則AB²=AE²+BE²-2AE•BE•cos120°=3+3-2×3×（-

1

2

）=9，
∴AB=3，
∴AM+MN+BN的最小值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由三視圖還原實(shí)物圖，解題的關(guān)鍵是由三視圖還原出實(shí)物圖的幾何特征及其度量，還考查曲面距離最值問(wèn)題，采用化曲面為平面的辦法．須具有空間想象能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．