Question

（2012•深圳一模）已知等比數列{a_n}的第5項是二項式(

x

-

1

3x

)6展開式的常數項，則a₃a₇=

25

9

．

Answer 1

分析：在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數等于0，求出r的值，即可求得常數項，即得a₅的值．再根據等比數列的性質求得a₃a₇ 的值．

解答：解：二項式(

x

-

1

3x

)6展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 6

•x

6-r

2

•(-

1

3

)r•x^-r=(-

1

3

)r•

C

r 6

•x

6-3r

2

．
令6-3r=0，r=2，故展開式的常數項為 T₃=(-

1

3

)2•

C

2 6

=

5

3

．
由題意可得 等比數列{a_n}的第5項 a₅=

5

3

，
∴a₃a₇=a52=

25

9

，
故答案為

25

9

．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數．等比數列的性質應用，屬于中檔題