Question

19、在經濟學中，函數f（x）的邊際函數為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月最多生產100臺報警系統裝置．生產x臺的收入函數為R（x）=3000x-20x²（單位元），其成本函數為C（x）=500x+4000（單位元），利潤等于收入與成本之差．
①求出利潤函數p（x）及其邊際利潤函數Mp（x）；
②求出的利潤函數p（x）及其邊際利潤函數Mp（x）是否具有相同的最大值；
③你認為本題中邊際利潤函數Mp（x）最大值的實際意義．

Answer 1

分析：①由“利潤等于收入與成本之差．”可求得利潤函數p（x），由“邊際函數為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得邊際函數．
②由二次函數法研究p（x）的最大值，由一次函數法研究Mp（x），對照結果即可．
③Mp（x）最大值意義在于它顯示出了，利潤的最大增量．當從生產0件產品到生產1件產品的過程中利潤增量由0變到2480，
Mp（x）是相對簡單函數，能夠很明了的標示利潤與產量的關系．

解答：解：①根據題意：
p（x）=R（x）-C（x）=-20x²+2500x-4000
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-20（x+1+x）（x+1-x）+2500（x+1-x）
=-40x+2480
②∵p（x）=-20x²+2500x-4000
=-20（x-62.5）²+74125
∴當x=62，63時
函數最大值為：74120
∵Mp（x）=-40x+2480
∴當x=0時
函數最大值為：2480
所以不一樣
③Mp（x）最大值意義在于它顯示出了，利潤的最大增量．當從生產0件產品到生產1件產品的過程中利潤增量由0變到2480
令Mp（x）=0，得x=62，這時p（x）恰好有最大值，說明當利潤增量為0的時候，總利潤恰好到達最大值，證明已經無利可圖，就是總利潤不會再增加，如果繼續投入生產反而會犧牲部分利潤．Mp（x）是相對簡單函數，能夠很明了的標示利潤與產量的關系． 而最大值則限制產量的范圍，及標示利潤能夠達到的最大增量．

點評：本題主考查函數模型的建立和應用，涉及了函數的最值，同時，確定函數關系實質就是將文字語言轉化為數學符號語言--數學化，再用數學方法定量計算得出所要求的結果，關鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．