Question

19、在經濟學中，函數f（x）的邊際函數定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）．某公司每月生產x臺某種產品的收入為R（x）元，成本為C（X）元，且R（x）=3000x-20x²，C（x）=500x+4000（x∈N^*）．現已知該公司每月生產該產品不超過100臺．
（I）求利潤函數P（x）I以及它的邊際利潤函數MP（x）；
（II）求利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差．

Answer 1

分析：（I）由“利潤等于收入與成本之差．”可求得利潤函數p（x），由“邊際函數為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得邊際函數；
（II）由二次函數法研究p（x）的最大值，由一次函數法研究Mp（x），對照結果即可．

解答：解：（I）根據題意：
p（x）=R（x）-C（x）=-20x²+2500x-4000，（x≤100）．
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-20（x+1+x）（x+1-x）+2500（x+1-x）
=-40x+2480（x≤100）．
（II）∵p（x）=-20x²+2500x-4000
=-20（x-62.5）²+74125
∴當x=62，63時，函數最大值為：74120
∵Mp（x）=-40x+2480
∴當x=0時，函數最大值為：2480
所以利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差為：74120-2480=71680元．

點評：本題主考查函數模型的建立和應用，涉及了函數的最值，同時，確定函數關系實質就是將文字語言轉化為數學符號語言--數學化，再用數學方法定量計算得出所要求的結果，關鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．