Question

設函數f（x）=

1

xlnx

（x＞0且x≠1）
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）已知

1

x

ln2＞alnx對任意x∈（0，1）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導數，利用導數不等式確定函數的單調區間．
（2）將不等式進行等價轉化為含參不等式，然后構造函數求函數在（0，1）上的最值即可．

解答：解：（1）函數的導數為f′(x)=-

1+ln?x

(xln?x)2

，由f′(x)＞0，得0＜x＜

1

e

，由f′(x)＜0，得x＞

1

e

且x≠1，
即函數在（0，

1

e

）上單調遞增，在（

1

e

，1）及（1，+∞）上單調遞減．
（2）因為x∈（0，1）時，lnx＜0，由

1

x

ln2＞alnx得a＞

ln?2

xln?x

，即求函數y=

ln?2

xln?x

的最大值即可．
由（1）知，函數y=

ln?2

xln?x

在（0，

1

e

）上單調遞增，在（

1

e

，1）上單調遞減，
所以函數y=

ln?2

xln?x

在（0，1）上，當x=

1

e

時取得最大值為-eln2，所以a＞-eln2，
即實數a的取值范圍（-eln2，+∞）．

點評：本題的考點是利用導數研究函數的單調性，以及利用導數解決不等式恒成立問題．含有參數的不等式恒成立，往往要通過分類參數，將參數轉化為最值恒成立問題．