Question

設函數f（x）=

1

x

，g（x）=ax²+bx，若y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且僅有兩個不同的公共點，則當b∈（0，1）時，實數a的取值范圍為

(-

2 3

9

，

2 3

9

)

．

Answer 1

分析：畫出函數的圖象，利用函數的圖象的對稱性，結合對字母a進行分類討論，不難推出結論．

解答：解：當a＞0時，作出兩個函數的圖象，如圖，
則當b∈（0，1）時，函數f（x）=

1

x

，g（x）=ax²+bx，若y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且僅有兩個不同的公共點，故考慮當b=1時，兩個函數圖象有且僅有兩個不同的公共點，如圖．
由方程

1

x

=ax²+x，得ax³=1-x²，兩邊求導，得3ax²=-2x，∴a=-

2

3x

，
∴-

2

3x

×x³=1-x²，解得x=

3

，
∴a=-

2

3 3

=-

2 3

9

，
結合圖象可知，當a＞0時，
當b∈（0，1）時，實數a的取值范圍為(0，

2 3

9

)；
同理，當a＜0時，實數a的取值范圍為(0，

2 3

9

)；
當b∈（0，1）時，實數a的取值范圍為(-

2 3

9

，0)；
又當a=0時，函數f（x）=

1

x

，g（x）=bx，的圖象有且僅有兩個不同的公共點．
故答案為：(-

2 3

9

，

2 3

9

)．

點評：本題考查的是函數圖象，直接利用圖象判斷，利用了構造函數的方法，利用函數與導數知識求解．要求具有轉化、分析解決問題，由一般到特殊的能力．題目立意較高，很好的考查能力．